행렬분해(LU분해)

LU분해

LU분해

- 가우스 소거법을 행렬 형태로 나타낸것

- L = lower triangular matrix, U =  Upper triangular matrix

 

A = LU

Ax = b  →

(LU)x = b →

L(Ux) = b →

Ly = b  (※  y = Ux)

 

값 구하기

1. 전방대치법 - y값 구하기(위에서 부터 아래로 x1 -> xn 값을 구해감)
2. 후방대치법 - x값 구하기(아래서 부터 위로 xn -> x1 값을 구해감)

 

LU분해의 구성

• L : 행렬 A를 전방소거하고 쓰인 Replacement, Scaling을 기록한 행렬
• U : 전방 소거법을 완료한 행렬
• P : Interchange를 기록한 행렬

 

 

 

LU분해의 사용 이유

• 수치적 안정성 - 직접 역행렬 A를 구하는 것보다 PLU분해가 안정적이다.
• b가 자주 업데이트 되는 경우: 분해를 해두면 업데이트 할때마다 x 값을 실시간으로 업데이트 가능