인공지능에서 사용하는 가우스 소거법은 다음 두 단계를 거친다
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전방소거법
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후방대입법
1. 전방소거법
전방소거법 방법
전방 소거법은 Ax = b에서 행렬 A에 최대한 많은 0을 만드는 작업이다.
위와 같은 Ax = b가 있다고 가정하고 전방소거법을 적용 시켜 보면
4 * x1 + 3 * x2 + 2 * x3 = 4
3 * x1 + 3 * x2 + -1 * x3 = -1
-1 * x1 + 2 * x2 + 5 * x3 = -1
4 * x1 + 3 * x2 + 2 * x3 = 4
0 * x1 + 3 * x2 + -10 * x3 = -16
-1 * x1 + 2 * x2 + 5 * x3 = -1
4 * x1 + 3 * x2 + 2 * x3 = 4
0 * x1 + 3 * x2 + -10 * x3 = -16
0 * x1 + 11 * x2 + 22 * x3 = 0
4 * x1 + 3 * x2 + 2 * x3 = 4
0 * x1 + 3 * x2 + -10 * x3 = -16
0 * x1 + 0 * x2 + 176 * x3 = 176
다음과 같은 과정으로 구할 수 있다.
순서는
- 치환(Replacement) : x(j) <- x(i) * m -> 0을 만드는 작업
- 교환(Interchange) : x(j) <-> x(i) -> 기준이 이미 0을 기준치 만큼 가지고 있으면 아래와 교환
- 스케일링(Scaling) : x(j) <- x(j) * m -> -를 곱하여 +로 만드는 작업
전방소거법의 가치
선형시스템을 가장 풀기 쉬운꼴로 변형해 준다.
선형시스템은 선형 방정식의 모음이며 선형방정식의 개수를 m 미지수의 개수를 n이라고 하면 m * n 선형 시스템이라고 한다.
rank를 알려준다.
rank란 의미있는 식의 개수를 의미하며 예를들어 2x = 2 와 x = 1은 결국 같은 선형방정식 이므로 1개의 rank를 가진다.
해가 있는지 없는지 알려준다.
0x = 0 ->해가 존재함, 0x = 1 해가 존재 하지 않음
2. 후방대입법
전방소거법을 거친 선형 시스템에 미지수들을 아래서 부터 대입하며 값을 얻는것.
4 * x1 + 3 * x2 + 2 * x3 = 4
0 * x1 + 3 * x2 + -10 * x3 = -16
0 * x1 + 0 * x2 + 176 * x3 = 176
x3 = 1
x2 = -2
x1 = 2
